同样的弹簧公式为什么更新顺序会改变长期运动：规则练习第24例

离散模拟每一步都要先后更新速度与位置。即使使用同一条恢复力公式，位置使用旧速度还是新速度，也会产生不同的轨迹和能量变化。

质量取一，恢复加速度为负k乘位置，步长为h。显式方法同时按旧状态计算新位置和新速度；半隐式方法先用旧位置更新速度，再用新速度更新位置。两种方法都从同一组位置和速度出发。

本例输入与约定

初始位置10、速度-3，弹簧常数4，步长1/4。记录初始及十二次更新。

完整计算记录

步 | 显式位置/速度/两倍能量 | 半隐式位置/速度/两倍能量 0 | 10/-3/409 | 10/-3/409 1 | 37/4/-13/2045/4 | 27/4/-13/1405/4 2 | 6/-89/4/10225/16 | 29/16/-79/4/25805/64 3 | 7/16/-113/4/51125/64 | -229/64/-345/16/528541/1024 4 | -53/8/-459/16/255625/256 | -2067/256/-1151/64/9571693/16384 5 | -883/64/-353/16/1278125/1024 | -10805/1024/-2537/256/142493501/262144 6 | -309/16/-529/64/6390625/4096 | -42563/4096/657/1024/1813335565/4194304 7 | -5473/256/707/64/31953125/16384 | -125061/16384/45191/4096/23809159645/67108864 8 | -2383/128/8301/256/159765625/65536 | -194419/65536/305825/16384/411914470061/1073741824 9 | -10763/1024/13067/256/798828125/262144 | 640043/262144/1417719/65536/8449363693693/17179869184 10 | 9/4/63031/1024/3994140625/1048576 | 7591005/1048576/5030833/262144/158860479605581/274877906944 11 | 72247/4096/60727/1024/19970703125/4194304 | 42896347/4194304/12532327/1048576/2468333466084125/4398046511104 12 | 66487/2048/170661/4096/99853515625/16777216 | 178818349/16777216/7232961/4194304/32185264838395885/70368744177664

表中编号仅用于识别本例的元素。读取一个结果时，应先核对它对应的输入、处理顺序和边界约定；布尔值表示条件是否成立，空集合表示没有符合要求的对象，不应把这些字段混成同一种数值。

复核方法与适用范围

每一步记录位置、速度和速度平方加k乘位置平方；最后一项是理想弹簧系统能量的两倍。计算保留精确分数，避免把舍入误差混进更新顺序的比较。

本例没有阻尼、碰撞或外力，也不保证任意步长都稳定。半隐式方法并非每一步都严格保持真实能量；选择步长仍应结合具体系统，不能把某一份表的表现当成所有参数的结论。

练习时可以先独立计算最前面的一步，再检查最后的整体不变量。若结论不同，应保留各步记录，定位第一处差异；只调整最终数字会掩盖规则理解上的问题。改变输入后也要重新演算，而不是照抄这一例的输出。